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自由落下の運動方程式解法比較
自由落下の運動方程式を解析的に解く方法と、LibreOffice Calcを使用して、数値的に解く方法とを比較する。
[1] 自由落下の運動方程式の解析的解法
空気抵抗を無視した自由落下の運動方程式は(1)式で表される。但し、重力と逆方向を正とする。
このときの座標系（一次元）を、図1に示す。この式の場合、重力加速度は、負の値となるが、式の一貫性を持たせるために、ここでは、あえてこのように定義付けえいる。
但し、
m: 落下する物体の質量[kg]
y: 落下する物体の位置(高さ)[m]
g: 重力加速度[m/s2](=-9.81)
t: 時間[s]
(1)
(2)
(2) 式は、変数tについて2回積分する。
(3)
(4)
定数C1とC2は、初期条件によって決定する。
ここで、t=0[s]のときの高さをh[m]、t=0[s]のときの速度（初速度）をv0[m/s]とすると、(3)式と(4)式から、
よって、(4) 式は、(5)式のようになる。
(5)
(5) 式により、任意の時刻における物体の位置を直接計算することができる。
[2] LibreOffice Calcを用いた数値解法
(5)式から任意の時刻における物体の位置を直接計算できように、数値解法を用いれば、(2)式から物体の位置を計算することができる。
まず、時刻tにおける、位置と初速度を設定する。ここでは、位置y(0)=h、初速度v(0)=0である。
ここで、微小時間Δt後の速度と、位置を計算する。
(6)
(7)
但し、vの上に付けた横棒は、その時間（Δt秒間）の平均値とする。
(1) 式は、変数tについて2回積分することによって、解析的に解くことができる。
まず、出題の意図より、質量m>0と仮定し、(1)式の両辺をmで除す。
y (鉛直方向)
h (t=0での位置)
0 (基準位置)
v0
(初速度)
図1 座標系